使用进化算法进行基于疲劳和磨损的调心滚子轴承的多目标优化

[印]Ashish Jat等

符号说明

b m ：现代材料的额定系数

B ：轴承宽度，mm

C d ：动载荷容量(基本额定动载荷)

D ：轴承外径，mm

d ：轴承内径，mm

D m ：轴承节圆直径，mm

D w ：滚子公称直径，mm

E ：弹性模量，Pa

F ( ρ )：曲率差，mm -1

h min ：弹性流体最小膜厚，μm

比膜厚

i ：滚子列数

K D min ：最小滚子直径极限

K Dmax ：最大滚子直径极限

l e ：滚子有效长度，mm

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L 10 ：轴承疲劳寿命，×10 6 r

N ：转速，r/min

Q ：滚子法向载荷，N

Q max ：在受载最大的滚子处套圈的接触载荷

r i ：内圈滚道曲率半径，mm

r o ：外圈滚道曲率半径，mm

r c ：轴承倒角半径，mm

X ：设计变量向量

Z ：滚子数量

α ：接触角，(°)

ε ：考虑外圈强度的参数

γ ： D w cos α / D m

ν ：载荷-寿命指数 n = 10.3时使用的折减系数

χ ：比( D w / l e )

∑ ρ ：曲率和，mm -2

η o ：润滑油动力黏度，N·s/m 2

μ ：泊松比

σ safe ：安全接触应力，MPa

润滑油孔直径，mm

Λ ：边缘受载和非均匀应力的折减系数

λ l ：轴承寿命比较系数

α p ：压力-黏度系数，1/Pa

⟺：当且仅当

：不小于

∀：所有

下标

i：内圈或内滚道

o：外圈或外滚道

s：标准轴承

L.L：下限

U.L：上限

single：单目标优化(SOO)

multi：多目标优化(MOO)

缩写

MOO：多目标优化

MOOP：多目标优化问题

SOO：单目标优化

DOO：双目标优化

POF：Pareto最优前沿

滚动轴承的作用是支承运动，包括一个物体相对于另一个物体的旋转、摆动和线性运动。滚动轴承根据其工作原理和所允许的运动进行分类。按主要载荷方向分为径向轴承和轴向轴承；按滚动体形状分为球轴承和滚子轴承。滚子轴承包括调心滚子轴承(SRB)、圆柱滚子轴承、滚针轴承(NRB)、圆锥滚子轴承和推力滚子轴承。SRB的几何形状独特且复杂。外圈为内球面，滚子直径从中间段到端部不等。在低载荷下，载荷向量通过点接触传递；在较高载荷下，修正的线接触可起到此作用。由于对静态和动态偏斜的适应性，SRB为自调心轴承。该轴承还支承径向和轴向联合载荷。Wan于1991年的研究表明， SRB不适于高速工况，因为滚子与滚道之间的高密合度以及素线会导致滑动系数大。SRB主要应用于轧机、造纸机、工程机械、破碎机、印刷机和振动筛等领域。

本文对有关SRB设计和优化的现有研究文献进行了综述。Bratt和Derman于1962年发明了双列SRB的保持架，滚子为桶形，两列滚子经过共同的外球面滚道，在轴承承载区的滚子驱动非承载区的滚子。Smith于1967年提出了一种设计，目的是提供一种改进的减摩轴承组件，利用布置在球面滚道之间的单列桶形滚子(制造极其简单且经济)改善了承受具有轴向推力分量载荷时的轴承性能。

Rader于1972年提出了一种用于SRB的保持架装置，其中的环形圈有多个轴向向外延伸的销钉或凸起。每个凸起在各自的滚子中延伸成一个孔。Price等在1975年提出了SRB的设计，将滚子的凸形接触面由单一半径曲率修正为连续曲线，目的是防止因破坏性应力集中而导致滚子端部早期失效。Kleckner和Dyba于1983年创建了一种用于SRB分析的设计工具，称为SPHERBEAN(调心轴承分析)，通过试验数据验证了该分析方法的有效性。Krzemiński和Raczyński于1984年进行了试验和理论研究，以确定引起滚子歪斜的力矩，也考虑了运动的阻力矩。Tallian和Hingley于1985年研究了用于歪斜控制的具有倒数凸度的SRB。本研究既适用于桶形滚子，也适用于沙漏(或凹)形滚子。在设计中，滚子上的摩擦力矩分布是为了产生正歪斜，从而减少发热，减小轴承摩擦，延长轴承寿命。Tsuji和Motoharu于1991年提出了一种设计，将使用合成树脂制成的保持架用于SRB，目的是防止球面滚子歪斜，提高润滑效果。Krzemiński和Bogdan于1996年对滚子轮廓修形的优化进行了研究，对SRB进行了圆弧修形和圆弧-对数修形。

本文将对滚动轴承优化的重要文献进行综述。Chakraborty等在2003年提出了球轴承的优化问题，该设计有5个设计变量、8个不等式约束条件和将动载荷容量作为目标函数，采用遗传算法求解最长疲劳寿命问题。Gupta等在2007年采用非支配排序遗传算法(NSGA-II)单独和两两对球轴承的静载荷容量、动载荷容量和弹性流体最小膜厚这3个目标函数进行了优化，对轴承性能参数进行了灵敏度分析。Rao和Tiwari于2007年描述了深沟球轴承的非线性设计优化问题，以疲劳寿命最大化为目标函数，采用了遗传算法。Kumar等在2008年提出了一种更好的圆柱滚子轴承设计方法，该方法包含了动载荷容量的单目标优化(SOO)。Kumar等在2009年提出了对数凸度圆柱滚子轴承的优化方法，采用实数编码遗传算法求解SOO问题，该问题以疲劳寿命最大化为目标函数，涉及10个设计参数和20个约束条件。

Tiwari和Waghole通过考虑目标函数(动载荷容量的最大化)、8个设计参数和20个约束条件，于2015年提出了SRB的SOO。采用人工蜂群算法(ABCA)、差分搜索算法(DSA)、网格搜索方法(GSM)和混合方法(HM)求解优化问题。混合方法给出了最优解，同时进行了约束违反研究和灵敏度分析。Najjari和Guilbault于2015年评估了圆柱滚子轮廓的简单几何形状，利用粒子群优化(PSO)对热EHL问题(包括边缘效应)进行了多目标优化(MOO)。Kalyan和Tiwari于2016年对NRB进行了MOO，该优化问题考虑了7个设计变量、2个目标函数(动载荷容量和弹性流体最小膜厚)和16个约束条件，还对轴承性能参数进行了灵敏度分析。

报道的研究工作主要集中在 SRB的载荷分布分析、滚子轮廓和轴承设计进展方面。关于SRB的SOO仅有一篇文献，但其他目标函数对SRB设计也至关重要。这为求解复杂度增加的SRB的MOO问题提供了动力。

论文的其余部分组织如下： 第1章描述了SRB的几何方面。第2章提出了SRB设计的问题公式，包括目标函数、设计变量和约束条件。第3章介绍了轴承的优化设计和进化算法。第4章分析了NSGA-II在SRB优化中的应用。第5章是轴承的灵敏度分析。第6章对结果进行了讨论。最后，第7章总结了本文的工作。

1 SRB 的几何方面

SRB有3个外形尺寸，即外径D、内径d和宽度B。其他参数用于描述轴承的完整内部几何结构(参见符号说明)，如图1所示。

图1 有多种设计参数的SRB

2 SRB设计的问题公式

本章概述了MOO问题的数学表示。该问题处理了期望目标函数、设计变量(包括SRB内部几何参数)和约束条件，其保留了SRB的标准外形尺寸，为设计参数提供了可行空间。优化问题的一般形式如下。

目标函数为最小化/最大化 f m ( X )； m =1，2，…， M 。

约束条件为

g j ( X )≥0； j =1, 2, …, J ，

(1)

h k ( X )=0；k=1, 2, …, K 。

(2)

变量约束为

(3)

接下来将讨论SRB的设计变量、目标函数和约束条件。

2.1 设计变量

在SRB优化中所用的设计参数向量为

{ X }=[ D m , D w , Z , l e , K Dmin , K Dmax , ε , α ] T 。

(4)

其由8个相互独立的设计变量组成。前5个参数 D m ， D w ， Z ， l e 和 α 来自SRB内部尺寸，其余3个参数作为可行设计空间的变量约束。参数 ε 保证外圈的强度。参数 K Dmin 和 K Dmax 作为系数，这些约束参数的界限由初始优化运行得到。

2.2 目标函数

本文中轴承的设计基于轴承的疲劳和磨损寿命。为了提高轴承寿命，选择了轴承的动载荷容量和弹性流体最小膜厚作为目标函数。

2.2.1 动载荷容量( C d )

动载荷容量或额定动载荷定义为“外圈静止，固定载荷下内圈额定寿命为1×10 6 r时一组明显相同的轴承承受的恒定径向载荷”。Harris和Kotzalas于2006年提出SRB的动载荷容量为

(5)

(6)

γ = D w cos α / D m 。

(7)

动载荷容量表达式包括 b m 、取决于 Λ 的系数 f c 、 ν 和 γ (量纲一的比)。符号 i 表示滚子列数(在目前情况下， i = 2)。疲劳在轴承失效中一般起非常重要的作用。因此，轴承寿命属于疲劳寿命，也称为额定寿命。在轴承任何表面出现疲劳迹象前，一组明显相同的轴承中有90%达到或超过给定恒定转速的总转数或总小时数称为额定寿命 L 10 ，与径向载荷相关的 L 10 寿命表示为

L 10 =( C d / F e ) 10/3 。

(8)

由以上方程明显可知，动载荷容量直接影响轴承寿命。因此，目标之一是动载荷容量的最大化。动载荷容量与( D w ) 29/27 ，( Z ) 3/4 和( l e ) 7/9 成正比。因此，通过优化得到这些参数，获得动载荷容量的最大值。参数的最优值受到约束条件的限制。由于这些事实，第一个目标被认为是动载荷容量的最大化，即

f 1 ( X )=max( C d )。

(9)

2.2.2 弹性流体最小膜厚( h min )

通过适当润滑可提高轴承的磨损寿命，从而提高轴承性能。对轴承进行润滑以避免滚子与滚道之间的金属-金属接触，因此使摩擦最小化。由于承载能力强，导致接触应力大，从而发生滚动体变形。提出了弹性流体动力润滑(EHL)理论，研究了伴随滑动的相对滚动或滚动时2个弹性体间流体动力油膜的润滑行为。利用EHL理论可求出最小膜厚。在此基础上，另一个目标函数被认为是EHL最小膜厚。Wan于1991年提出内、外圈最小膜厚为

(10)

(11)

(12)

U i =0.5 D m [(1- γ )( ω - ω m )+ γω r ],

U o =0.5 D m [(1+ γ ) ω m + γω r ],

(13)

γ )N,

(14)

(15)

已知增大最小膜厚可避免滚子与滚道之间的金属-金属接触，从而减少磨损。因此，选择的第2个目标函数为

f 2 ( X )=max( h min ),

(16)

h min =min[( h min ) i ,( h min ) o ]。

(17)

2.3 约束条件

约束条件是在设计区域内的限制条件，为设计变量提供可行空间。其将可行区域与非可行空间区分开。根据约束条件选择设计变量。约束条件有等式约束条件和不等式约束条件。所有表示优化问题的约束条件都是不等式类型。为了便于使用，所有不等式约束条件均被表示为大于等式约束条件(表1)。本节简介Tiwari和Waghole于 2015年提出的22个约束条件。

表1 变量和参数的范围

约束条件1和2：节圆直径 D m 的范围必须在轴承内径与外径之间选择，并考虑内圈和外圈倒角半径的空间，还必须为滚子直径和套圈厚度留出足够空间。约束条件3和4：从强度和几何角度考虑，得到了滚子直径 D w 的范围。约束条件5和6：滚子数量 Z 的下限由轴承节圆直径的下限值和滚子直径的上限值求得，用于上限时则反之。约束条件7和8：利用参数 χ 得到有效滚子长度 l e 的下限，通过考虑密封件和引导套圈的可用空间得出上限。约束条件9和10：滚子直径用2个参数 K Dmin 和 K Dmax 给出界限，通过优化得到这些约束参数的值。约束条件11：通过考虑几何形状，对两列滚子间的中心距给出了限制，该约束条件是在靠近轴承中心平面的相邻滚子的2个拐角点间保持较小的距离。约束条件12：为了强化外圈，使用参数 ε ，外圈厚度不应小于 εD w 。约束条件13：为了保证滚子的平稳运行，考虑2个滚子有1°的间隙，从而得到滚子数量的约束条件。约束条件14：内圈的应力通常大于外圈的应力，所以采用约束条件从外圈强化内圈。约束条件15～18：曲率差 F ( ρ )总为0～1之间的数字，这对滚子平均直径、节圆直径、滚子曲率半径和滚道半径施加了现实的约束条件。约束条件19：滚子的长度和直径必须在规定的空间内，这里的常数

被定义为在轴承中心处用于润滑目的的孔直径。约束条件20：外滚子端点不应从轴承两侧伸出，为了保证这点，外端点的水平坐标应小于轴承宽度的一半。约束条件21：内滚子端点不应与在轴承中心处垂直于轴承轴线的平面相交，为了保证这点，内端点的水平坐标应远离轴承中心处垂直于轴承轴线的平面，这是新增加的约束条件。约束条件22：该约束条件限制了节圆直径。首先利用(18)式求出滚道圆角半径 r o 的值，其是经验公式，其中 D m 和 D w 的值在对其所施加的范围内选择。

(18)

3 轴承的设计优化与进化算法

优化是在给定的问题条件下实现最佳结果的步骤。换句话说，其是在给定的限制条件下获得最合适函数结果的过程。一般来说，现实世界的优化问题大多由多个目标组成，且在可变空间中约束。在形式上，处理2个或多个目标的优化问题被认为是多目标优化问题(MOOP)。这些目标可能相互冲突，这意味着任何通过设计参数的变化而导致的目标函数的积极或消极变化都会对其他目标产生相反的影响，导致求解点或折衷前沿的变化。这种折衷前沿被称为Pareto最优前沿(POF)。

SOO问题与MOOP之间的主要区别是：1)MOOP处理多个最优解，而非在SOO中仅处理1个最优解；2)MOOP处理2个或多个目标，而非SOO中的1个目标，得到在POF附近的一组解以及其间的多样性；3)SOO具有单一的决策空间，而MOO涉及2个搜索空间(目标空间和设计空间)，而非1个。

大多数时候，目标函数在MOOP中相互冲突，这意味着一个目标的提升会导致至少另一个目标的降低，从而导致Pareto前沿。因此，在MOOP中不存在同时优化所有目标的单一解。Pareto最优集是在整个可行搜索空间中的非支配解。MOOP的主要任务是得到Pareto最优解。

设计参数空间及其相应的目标空间如图2所示。对于每个解 X ，在决策空间中，在目标空间 Z 中存在一个点，该映射发生在i维的解向量与 m 维的目标向量之间。MOO也被称为向量优化，因为目标的向量是优化的。MOOP可以是线性或非线性的，分别取决于线性或非线性约束条件。目前的SRB优化问题是非线性问题。

图2 采用Pareto最优前沿表示决策空间和相应的目标空间

在MOOP中比较2个解时，支配的概念被用来检查一个解是否支配另一个。当解 x 在所有目标中都不比 y 差且 x 在至少一个目标中严格优于 y 时，一个解 x 被认为支配(更优于)另一个解 y 。考虑到所有目标都是最大化类型，则x的支配为

x ≻ y :⟺ f m ( x )

f m ( y )∀ m 且f m ( x )> f m ( y )；至少有1个 m 。

(19)

x ≻ y 表示 x 对 y 的支配(其他数学符号参见符号说明)。局部搜索空间中的非支配解集称为非支配前沿。全局非支配解集是Pareto最优解集。因此，可以说所有POF都是非支配的，但所有非支配前沿都不是POF。

多目标优化算法可分为经典算法和进化算法。此外，根据Cohon于1985年发表的文献可知，经典算法可细分为生成算法和基于偏好的算法。在生成算法中，为用户生成几个非支配解，然后用户从得到的非支配解中选择一个，无需事先了解每个目标。基于偏好的算法对每个目标使用一些已知的偏好。

进化算法(EA)模仿自然进化原理，以建立搜索和优化方法。EA的典型特点是在仅有一次的模拟运行中找到并保留多个解。EA处理的是解的整体，而不是所有迭代中的一个解。基于上述论述，选择了进化算法求解SRB的MOOP。可用于求解MOOP的进化算法有非精英MOEA和精英MOEA(基于距离的Pareto GA(DPGA)、Pareto存档进化策略(PAES)、强度Pareto进化算法(SPEA)和SPEAII、非支配排序遗传算法(NSGA-II))。利用人工蜂群算法、网格搜索方法和混合方法对早期SRB设计进行了优化。这些方法对多变量数值函数进行了优化，得到了非线性约束条件下动载荷容量的SOO。

近20年来在多目标进化算法(MOEA)和进化计算领域进行了大量研究。MOEA是目前研究的热门领域，已应用于圆柱滚子轴承、圆锥滚子轴承、滚针轴承和球轴承。这为解决SRB的MOO问题提供了动力。

4 NSGA-II在SRB优化中的应用

采用由印度理工学院坎普尔分校遗传算法实验室于2016年开发的NSGA-II程序作为优化工具。该程序用C语言编写，对程序进行修改有助于破解SRB的MOOP。将目标函数、约束条件、设计参数范围、轴承边界条件和GA参数值以该格式登记，以实现轴承的优化结果。实际编码的染色体用于表示该模块的8个设计参数。修改程序使设计变量(即 Z )取整数值。问题约束条件被Deb于 2001年提出的标准约束处理技术巩固。材料性能、工况和其他常数见表2。

表2 材料性能、工况和其他常数

如前所述，目前的多目标优化问题包括2个目标函数： C d 和 h min 。对具有标准外形尺寸的SRB进行了单目标和多目标优化，执行的优化运行为：1)SOO，单独的 C d 和 h min ；2)MOO，组合的 C d 和 h min 。

完成在程序中插入目标和约束后，现在下一步是找到基本设计参数 D m ， D w ， Z ， l e 和 α 的界限。为了找到限制，输入外形尺寸( D ， d 和 B )、倒角半径 r c 、进油口直径

等于0.25 C d 的径向载荷、最大接触应力和滚子长径比。每个设计变量都有范围，这约束了求解域(表3)。

表3 SRB 22317的设计变量和设计参数的限制

使用Dev C ++ 在i7-5500M CPU @2.40 GHz英特尔处理器上进行计算，RAM为8 Gb。所有运行的种群规模一直是5 000。使用高种群是为了在POF中获得更多解。在确定种群规模后，GA参数(交叉概率、交叉指数、变异概率、变异指数和随机种子)变化以得到最优解(多样化和最大化解)。交叉概率的变化范围为0.7～0.9，变异概率的变化范围为0.1～0.2。获得收敛所需的总代数取决于交叉和变异概率的值。

交叉分布和变异分布指标是实数编码GA的组成部分，该算法以实数编码染色体作为亲本及其子代群体。其起重要作用，以得到求解点的最大扩散。分布指标越低，结果越多样化，POF越好。每次运行使用随机种子生成初始种群，取值范围为0～1。在GA参数变化的情况下，从100次运行的解集中选出最优结果。GA参数的变化及优先值见表4。解随着GA参数变化的情况如图3—图7所示。不同轴承的标准SRB尺寸见表5。首先对算法进行一定的代数初始化，然后依次增加代数，直至达到收敛。用于SRB 22317的带代数的POF的收敛如图8所示，在120代实现了收敛。

图8 用于SRB的POF随代的收敛

表4 GA参数变化和优先值

图3 SRB的带交叉概率的Pareto前沿

图4 SRB的带变异概率的Pareto前沿

图5 带交叉分布指数的Pareto前沿

图6 SRB的带变异分布指数的Pareto前沿

图7 SRB的带随机种子的Pareto前沿

表5 设计中使用的标准SRB参数

C d 和 h min 的SOO的最优结果分别见表6和表7。将优化轴承的动载荷容量与标准样本值进行了比较，见表6。为了比较优化后的SRB与标准轴承的寿命，使用寿命比较系数 λ l 。 C d_new 和 C d_std 分别为优化轴承和标准轴承的动载荷容量，有

表6 动载荷容量 C d 的优化和与标准样本值的比较

表7 弹性流体最小膜厚 h min 的优化

λ l =( C d_new / C d_std ) 10/3 。

(20)

由 C d 和 h min 的MOO获得的最优结果见表8，这些优化实际上利用了MOO的性能。SRB 22317的收敛Pareto最优前沿如图8所示，120代时SRB 22317的POF如图9所示。每个MOO都给出了一组5～10个折衷解。在POF的多个解中，对于每个SRB，只有一个解称为拐点解或拐点(表8)，拐点解是折衷前沿中的解，这样在一个目标中的小改进将导致在其他目标中的大效果。优化轴承的动载荷容量和寿命比较系数与标准轴承和参考Tiwari和Waghole在2015年发表文献的对比见表9。优化轴承SRB 22317的截面图如图10所示，目标函数为：1) C d ；2) C d 和 h min ；3) h min 。其代表了各种设计变量，这需要描述轴承的内部几何形状。

图10 优化SRB 22317的截面图(所有尺寸以mm为单位)

表8 Cd和 h min 的MOO

表9 动载荷容量和寿命比较系数的对比

图9 通过多目标优化SRB的 C d 和 h min ，在120代得到了Pareto最优前沿

用于单目标优化的算法(对于每套轴承)的平均运行时间为500 s, MOO的平均运行时间为530 s，种群规模为5 000，代数为120。为了解润滑状况，计算了比膜厚

见表7和表8，

为 h min 与表面粗糙度 Ra 之比。在目前的研究中考虑了超精轴承， Ra 值取60 nm。

5 灵敏度分析

例如将灵敏度研究应用于SRB 22317。在这种情况下，每个设计变量都被单独扰动(所有其他设计变量保持不变)，并且使用所有3个设计变量的组合，扰动范围为约拐点的±1%。在约拐点的+1%得到1 000个扰动点，在约拐点的-1%得到1 000个扰动点，总共获得了2 000个扰动点，并在这些点上对目标进行了评估。在这2 000个点中仅少数解满足所有约束条件，即可行解。可行解总体中扰动设计变量和目标函数值的最大值和最小值(公差)见表10。 C d 和 h min 在3个变量扰动下的变化如图11所示。需注意的是，表10中设计变量的最大值/最小值不一定对应于目标函数的最大值/最小值。

图11 3个设计变量 D m ， D w ， l e 的灵敏度分析

表10 灵敏度分析的变量公差以及相应的目标变化

6 讨论

本节将解释前一节中给出的结果。

约束系数 K Dmin ， K Dmax 和 ε 收敛到非常窄的范围，这说明提供预设参数尤为重要。

由于复杂几何结构和决策变量的可行空间有限，即使在大迭代中，POF的解数量也较少(图8)。因此，约束条件的最少数量限制了解的扩展。

在POF中可见2个优化目标之间的矛盾。因此，设计工程师不得不根据自己对轴承疲劳寿命或磨损寿命的要求，从POF的解中选择一个。

对于动载荷容量的单目标优化，寿命比较系数的变化范围为1.17～3.07。这些寿命比较系数比Tiwari和Waghole在2015年发表文献中的要大。这是由于NSGA-II的使用，其使用显式多样性、精英保存策略和其整体能力来保持解的更好扩展。

对于多目标，拐点解的优化寿命比较系数的变化范围为1.15～2.85。观察到SRB的寿命比较系数随着轴承尺寸的增大而增大。这意味着由于轴承空间，大型轴承改善得更好。

结果表明，由于MOO中目标的冲突性，正如预期，SRB的多目标优化寿命比较系数比考虑 C d 的SRB的单目标优化寿命比较系数要小。

表7和表8中所示的

值相似，SOO的

值变化范围为1.52～4.65，MOO的

值变化范围为1.52～4.70。比膜厚值足够大，可避免金属-金属接触，从而减少磨损。随着轴承磨损寿命的提高，这些比膜厚的增加值肯定会为工业提供好处。

灵敏度分析结果表明， D m 的可行区域与其他2个变量相比是不连续的。因此，设计时 D m 应保持紧密的公差， D w 和 l e 宜在约拐点保持负公差，以避免正面的不可行解。

7 结论

本文努力解决SRB设计的多目标优化。采用NSGA-II对轴承进行了优化。2个目标函数(动载荷容量和弹性流体最小膜厚)受到非线性约束条件。采用收敛方法寻找设计中的全局最优。目标函数( C d 和 h min )单独和同时优化，发现存在冲突，因此当进行MOO时，设计工程师必须通过从POF的解中获取一个结果来相互妥协。寿命比较系数和比膜厚均比现有设计有所提高，表明优化对工程设计问题的重要性和对现有SRB设计进行升级的紧迫性。通过灵敏度分析估计设计变量的偏差对目标函数的影响。灵敏度分析研究显示了3个设计变量和目标函数的公差。这些设计变量的公差可在制造SRB时使用，以避免目标函数的显著变化。该优化方法可用于非标轴承的设计。对优化轴承进行了试验，验证了轴承寿命的提高。未来的工作还可包括MOO技术与热方面的考虑、保持架设计和密封。

THE END

参考文献(略)

Multi-Objective Optimization of Spherical Roller Bearings Based on Fatigue and Wear Using Evolutionary Algorithm

译自《Journal of King Saud University-Engineering Sciences》，2018，32(1):58-68.

翻译：顿亚坤 校对：李博璐